E-2 Casse-tête mathématiques :

Pour les programmes : répertoire « E-2» compressé au format zip (339 133 octets).

E-2-1 Pur et dur

E-2-1-1 Q : Trouver le plus petit entier positif N qui multiplié par 3 donne un entier P dont l'écriture décimale est obtenue en faisant passer à droite le premier chiffre de N. (A programmer…)

Réponse : N=142857

142857
   x 3
------
428571

Solution sans programme : soit N ce nombre. Supposons qu'il s'écrive avec p chiffres. On va le construire en partant de la multiplication inversée des chiffres par 3.
Supposons que N débute par 1. Notons le N = (1a...mcdu). Par exemple : (1a...mcdu)*3 = (a...bcd1). On en déduit que le chiffre u des unités de N doit être 7 dans ce cas.
De même (1a...mcd7)*3 = (a...mc71). Donc le chiffre des dizaines d vaut 5 puisque 57*3 = 171. De même (1a...mc57)*3 = (a..m571). Ce qui donne c = 8 car 857*3 = 2571.
De proche en proche on trouve successivement 2, 4 puis 1 et là on constate que 142857*3 = 428571.
Une seconde réponse (285714) est possible avec 6 chiffres en commençant par 2. Les autres chiffres de 3 à 9 ne permettent pas de conclure les calculs en 6 chiffres au plus.

E-2-1-2 Q : Un micro-ordinateur vaut 344 Euros chez M. Les acheteurs se précipitent. La recette du magasin est un nombre de six chiffres qui se lit en juxtaposant les nombres de deux chiffres A, A+1 et A. Combien de lecteurs ont acheté cet objet ?

Réponse : 1997 acheteurs (686968 Euros de recette).

Solution sans programme : soit N le nombre d'acheteurs. En notant * la multiplication on a :
344*N= A*10000 + (A+1) *100 + A,
ou encore :
344*N = 10101*A + 100. (E).
On observe que 344 = 43*2*2*2 et, de plus, en considérant les chiffres des unités, A est un nombre entier pair puisque la recette est multiple de 344.
Les restes de la division des deux membres de (E) par 43 sont nécessairement égaux. Utilisons les règle de la congruence modulo 43. Il vient :
0 = 39*A + 14 (mod 43)
ou (puisque 39 - 43 = -4 et 14 + 43*2 = 100) :
-100 = -4*A (mod 43).
Donc A = 25 ou A = 68 (car A est un nombre entier à deux chiffres).
La parité impose A = 68 comme seule solution possible. Dans ce cas il y a eu une recette de 686968 Euros et comme 686968 = 1997*344, N = 1997 acheteurs, ce qui valide A = 68.

Un programme très simple confirme ce résultat...

E-2-2 Le mystère de l'âge du capitaine

En été 1919, dans la plaine du Pô, on découvrait les restes du corps d'un homme avec des débris d'uniforme de capitaine et une hallebarde. En multipliant la longueur en mètres de la hallebarde par le jour et par le mois de la date de la découverte, par l'âge du capitaine et par le quart des années qui séparent sa mort de cette découverte, on obtient 451066.

E-2-2-1 Q :Trouvez à quel âge le capitaine est mort.

Réponse :L'âge du capitaine est 29 ans

E-2-2-2 Q : Quel est le nom de la bataille ?

Réponse :Le nom de la bataille est « Bataille de Marignan »

Pour vous aider :

Vous pouvez commencer par trouver la longueur en mètres de la hallebarde et la date de la découverte. De plus sachez que tous les nombres sont entiers. Soyez logiques, éliminez ce qui est manifestement impossible.

On décompose 451066 en produit de facteurs premiers. 451066=2x7x11x29x101
Ensuite on envisage toutes les combinaisons de ces nombres et on établit des fourchettes de vraisemblance pour chaque élément.

 

Programmes : (répertoire compressés au format zip : E-2).

Retour au sommaire 

(ref : page 23)

07.07.2001